編者按：
各位粉絲朋友們，歡迎閱讀本期小編推送的《汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差補償方法》文章。文章主要介紹了提升汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對整車的安全與節(jié)能性能有重要意義。
該文針對汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪實測和理論齒面存在的測量誤差，提出了一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(ICP)齒面測量誤差補償方法。
本篇文章因篇幅較長，特安排兩期推送。
本期推出：汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差補償方法(一)
提升汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對整車的安全與節(jié)能性能有重要意義，該文針對汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪實測和理論齒面存在的測量誤差，提出了一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(ICP)齒面測量誤差補償方法。將誤差補償問題轉(zhuǎn)化為兩曲面的配準(zhǔn)問題，利用對偶四元數(shù)對齒面配準(zhǔn)模型進行表示并得出誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并使用凸松弛的全局優(yōu)化算法對其實部進行優(yōu)化，實現(xiàn)螺旋錐齒輪齒面的精確配準(zhǔn)。結(jié)果表明：螺旋錐齒輪凹齒面的誤差補償率最高達(dá)77%，最大誤差由補償前的22.11μm降至5.64μm，平均誤差由補償前的10.34μm降至2.38μm，該算法與傳統(tǒng)奇異值分解法(SVD)、四元數(shù)法和Levenberg-Marquardt 法(L-M)相比有更高的求解精度和穩(wěn)定性，證明所提出的補償方法具有可行性。
螺旋錐齒輪是機械設(shè)備中關(guān)鍵基礎(chǔ)元件之一，廣泛應(yīng)用于汽車、造船、工程機械、建筑機械和交通運輸機械等領(lǐng)域。汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面的加工質(zhì)量直接影響主減速器齒輪傳動的噪聲、齒輪壽命以及傳遞效率等，進而影響到汽車的質(zhì)量和安全性能。精確的齒面測量和誤差補償可以顯著提高齒輪的嚙合質(zhì)量，減少能量損失，提升傳動效率，降低燃油消耗，促進汽車節(jié)能。因此，對驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差進行分析和補償具有重要意義。
在齒輪測量機測量汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面的過程中，回轉(zhuǎn)軸傾斜和大端端面加工誤差等多種因素導(dǎo)致理論齒面與實測齒面存在偏差。韓連福等分析了齒輪測量機的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由拓?fù)浣Y(jié)果采用多體系統(tǒng)理論建立了齒輪測量機幾何誤差補償模型。邢元等提出一種基于歐式線性空間的軟件誤差補償方法，通過 二級補償機制有效提高齒面加工精度。宋碧云等基于改進的levenberg-marquardt法(levenberg-marquardt，L-M) 并選取敏感性較高的加工參數(shù)對螺旋錐齒輪齒面誤差進行補償。硬件補償方法成本高且零件測量時出現(xiàn)的誤差是不可避免的，軟件補償方法是現(xiàn)在的主流方法，但目前存在計算強度大、迭代不收斂以及誤差補償不夠精確等問題。目前最常用的齒面配準(zhǔn)方法是迭代最近點算法 (iterative closest point，ICP)，其實質(zhì)是基于最小二乘法，將最近點迭代并通過更新兩組曲面數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)兩齒面的精確配準(zhǔn)。LIU Yongsheng等用阻尼Gauss-Newton法代ICP算法中奇異值分解法(singular value decomposition，SVD)來求解幾何變換矩陣，有效實現(xiàn)了測量齒面向理論齒面的配準(zhǔn)補償，但其容易陷入局部最優(yōu)解。ZHOU Lihua等提出了一種匹配點搜索方法，解決了測量齒面與理論齒面之間的對應(yīng)關(guān)系，但其空間復(fù)雜度和時間復(fù)雜度較高。XIE He等提出了基于點到球面配準(zhǔn)的最近鄰精細(xì)配準(zhǔn)算法，將配準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，利用Taylor展開式求解配準(zhǔn)運動參數(shù)，但其需要選擇適當(dāng)?shù)某跏紖?shù)。
為解決現(xiàn)有齒面測量誤差補償方法存在的問題并實現(xiàn)理論齒面與實際齒面偏差的補償，本文首先進行兩齒面之間的配準(zhǔn);針對現(xiàn)有齒面誤差補償方法和ICP算法的局限性，利用對偶四元數(shù)在同時處理旋轉(zhuǎn)和平移變換中的優(yōu)勢，提出一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補償算法，以解決傳統(tǒng)ICP方法容易陷入局部最優(yōu)解的問題;利用對偶四元數(shù)獲取誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并進行凸松弛優(yōu)化，以此提高齒面配準(zhǔn)的精度和穩(wěn)定性;最后通過實測實驗驗證本文提出算法的有效性。
1螺旋錐齒輪齒面測量誤差分析
汽車驅(qū)動橋由螺旋錐齒輪、差速器、車輪傳動裝置等關(guān)鍵部件組成，作為汽車傳遞動力的關(guān)鍵組件，其性能和可靠性直接影響整車的動力表現(xiàn)和行駛安全性。 驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差為實際測量齒面與理論齒面之間存在的偏差。如圖1所示，在齒輪軸上建立理論坐標(biāo)系 {O: X, Y, Z}，螺旋錐齒輪齒面任意 理論測量點Pi與其對應(yīng)的實際測量點Qi之間的差即為該點齒面偏差δi。當(dāng)測頭到達(dá)預(yù)設(shè)測量位置時，實際測頭球心C'i與實測點Qi都在法向量ni方向上，齒面與測頭的接觸點Qi處于法線方向nQ上，Qi點到Pi點的距離等于實際測頭球心C'i與理論測頭球心Ci之間的距離di。
在實際測量中，螺旋錐齒輪齒面是連續(xù)光滑曲面，偏心和傾角誤差導(dǎo)致被測齒面與理論齒面不一致，接觸點處的法線方向與齒面法線方向并不完全一致。如圖2所示，實際測頭球心與實際接觸點Qi不在ni上，接觸點法向nQ與ni也不在同一方向上。理想接觸點Pi與實際接觸點Qi有一定距離，此時齒面偏差δi為點Pi到點Qi的距離。
由幾何關(guān)系可知：AB與BE的和為測頭半徑，由于CNC齒輪測量機的測頭半徑很小，E與Pi的距離非常近，所以PiF的距離近似等于AB的距離，則此時δi的值可以用式 (1) 近似表示：
其中：di為實測球心與理論球心之間的距離;ni為理論齒面的法向量。
設(shè)理論齒面數(shù)據(jù)點集為P，由{P1, P2, ?Pn} 構(gòu)成，實際測量數(shù)據(jù)點集為Q，由{Q1, Q2, ?Qn} 構(gòu)成，齒輪的實測齒面測量點Qi可以由理論齒面數(shù)據(jù)點Pi 、齒面偏差δi和法向量ni表示，如式 (2) 所示：
為了減小甚至消除實測齒面與理論齒面之間的偏差，需要實現(xiàn)理論齒面與實測齒面的精確配準(zhǔn)，利用配準(zhǔn)結(jié)果實現(xiàn)螺旋錐齒輪的齒面誤差補償。
2傳統(tǒng)對偶四元數(shù)算法及齒面配準(zhǔn)模型
對偶四元數(shù)的形式與性質(zhì)：對偶四元數(shù)表征旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的方式與傳統(tǒng)方式不同，它們之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。理論點構(gòu)成的坐標(biāo)系O和實際測量點構(gòu)成的坐標(biāo)系S之間的變換關(guān)系可以近似地通過一個平移矢量和一個單位四元數(shù)來表示，也可以采用一個更加緊湊和簡潔的方式來表示，即單位對偶四元數(shù)，如式 (3) 所示：
其中：qO/S, R為對偶四元數(shù)的實部;qO/S, T為對偶四元數(shù)的對偶部;ε是一個與實數(shù)域R垂直的維度單位長度，它滿足ε2=0 ;M1O/S=(0, M1O/S) 代表理論坐標(biāo)系O的原點到實測坐標(biāo)系S的原點之間的矢量。式(3)也可以簡潔表示為式(4)：
其中：r和s是q的實部和對偶部，且r=r1+r2i+r3j+r4k，s= s1+s2i+s3j+s4k ;單位對偶四元數(shù)滿足單位性和正交性。任意四元數(shù)p和q相乘可以通過矩陣U(p)和W(q)來表示，如式(5) 所示：
其中，矩陣U(p)和W(q)分別是四元數(shù)p和q的四元數(shù)矩陣，且U(p)稱為W(q)的蛻變矩陣，具體值如式(6)所示：
其中：C(p)為偏對稱矩陣，也稱為反對稱矩陣，
齒面配準(zhǔn)模型：驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面的誤差補償數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是三維空間曲面的相似變換，齒面理論測量點集P的空間變換用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T表示，經(jīng)過空間變換得到點集Q'，如式(7)所示：
其中，T是由平移向量t構(gòu)成的矩陣。
點集Q'與實測點集Q的差值即為誤差矩陣E，如式(8)所示：
傳統(tǒng)方法選擇距離較大的對應(yīng)點通過奇異分解 (SVD) 方式獲得變換矩陣R、T。首先根據(jù)參與求解的理論與實際點云的質(zhì)心構(gòu)造分解矩陣，將其進行SVD分解，將矩陣正交對角化分解得到2個特征向量矩陣，最后求解得到旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。由于螺旋錐齒輪齒面理論點云與測量點云之間的誤差較小且一一對應(yīng)，不存在噪音點，不需要進行控制點的選取過程，且不需要對最近點進行搜索，可采用定向點對點的精配準(zhǔn)方式，如圖3所示。
3對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代算法
基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補償算法是以對偶四元數(shù)的形式將齒面配準(zhǔn)方程分解為旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣2部分，獲取誤差矩陣方程并建立新的問題模型，提取同名特征點并將兩點集進行粗配準(zhǔn)。為得到更精確的配準(zhǔn)結(jié)果，將誤差矩陣方程線性化并對其中的旋轉(zhuǎn)矩陣進行全局優(yōu)化，使用MATLAB的Sedemi工具進行凸松弛優(yōu)化得到全局最優(yōu)解。根據(jù)平均誤差、最大誤差、誤差補償率和方差驗證算法補償結(jié)果的準(zhǔn)確性。
旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)的對偶四元數(shù)表示：對偶四元數(shù)的幾何意義可以表示為2個三維集圍繞著一個軸做剛體運動，先沿著向量n做平移運動至p'點，平移距離為d，然后在p'點繞向量n旋轉(zhuǎn)θ角度到pS點，如圖4所示。
式(4)可以由圖4的幾何關(guān)系重寫，如式(9)所示：
其中
式(4)中的實部r和對偶部s與式(9)中n和θ的關(guān)系如式(10)所示：
因四元數(shù)法能保持方程是線性的且不產(chǎn)生奇異，任何三維空間的向量都可以用實部為0的四元數(shù)表示，所以引入2個以坐標(biāo)向量為正值的純虛四元數(shù)，如式(11)所示：
將純四元數(shù)p經(jīng)過四元數(shù)r旋轉(zhuǎn)變換到p'，如式(12)所示：
其中，W(r)TU(r)可拓展為矩陣
平移四元數(shù)t'的表示如式(13)所示：
而式(8)可以用對偶四元數(shù)重新表示，如式(14)所示：
其中：pOi =(xOi , yOi , zOi)T與pSi=(xSi ,ySi ,zSi)T 表示理論測量點與該點對應(yīng)的實際測量點的控制向量;W(r)TU(r)為旋轉(zhuǎn)矩陣;2W(r)Ts為平移矩陣;λ為比例因子。在螺旋錐齒輪齒面誤差補償算法中，理論齒面和實測齒面的整體大小的差別很小，因此本文中涉及的比例因子λ近似為1。
將式(14)進行線性化，從實測齒面數(shù)據(jù)點與理論齒面數(shù)據(jù)點中提取同名特征點，可以得到誤差方程， 如式(15)所示：
其中：E=(ex, ey, ez)T ，V=(vx, vy, vz)T ，X=(dr1, dr2, dr3, dr4, ds1, ds2, ds3, ds4);A是根據(jù)KD-tree搜索出的點坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣;L是與A同名特征點對應(yīng)的矩陣。
旋轉(zhuǎn)矩陣的全局優(yōu)化：在實際測量中，汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪測量齒面與理論齒面的質(zhì)心相差不大，優(yōu)化兩齒面間的平移向量對最終誤差補償效果的影響甚微，所以本文僅針對旋轉(zhuǎn)矩陣進行全局優(yōu)化。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模擬退火、禁忌搜索等啟發(fā)式全局優(yōu)化算法具有廣泛的適用性，但通常需要調(diào)節(jié)多個參數(shù)以實現(xiàn)最佳性能，分支限界法的技巧性更強，由于具體問題的差異，分支限界法的具體實現(xiàn)方法并不具有普適性。凸優(yōu)化方法是通過將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為階數(shù)更低的凸函數(shù) ，將可行區(qū)域轉(zhuǎn)化為凸包絡(luò)，使多極值非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解。針對低階(二次)的非凸函數(shù)優(yōu)化問題，既能保證執(zhí)行效率，又能保證求解的最優(yōu)性。凸松弛優(yōu)化方法最初由D. Hendon等將其應(yīng)用于測算機器視覺中的三維重建問題，常用于機器學(xué)習(xí)、 電力系統(tǒng)等領(lǐng)域，該算法的優(yōu)點是初值不需預(yù)估便獲得最優(yōu)解。為了最大限度確保每次求解的優(yōu)化結(jié)果都能收斂到全局最優(yōu)解，本文提出將對偶四元數(shù)與凸松弛優(yōu)化算法結(jié)合進行求解。為了避免求解過程中出現(xiàn)2個最優(yōu)解的情況，同時確保特征點求解的數(shù)值穩(wěn)定性，增加約束條件 r·sT=0和rT·r=1，并在確定松弛系數(shù)后，利用線性矩陣建立凸優(yōu)化模型。以最小化方程式(8)為幾何誤差目標(biāo)函數(shù)，以對偶四元數(shù)的性質(zhì)為約束條件，建立二階多項式優(yōu)化問題并進行優(yōu)化，具體步驟如下。
步驟1：確定最大迭代次數(shù)，定義對偶四元數(shù)變量：r=(r1, r2, r3, r4)T ，s=(s1, s2, s3, s4)T，初始值 r=(1, 0, 0, 0)T，s=(0, 0, 0, 0)T，建立目標(biāo)函數(shù)minf(r)，如式 (16) 所示：
步驟2：確定松弛系數(shù)，將線性化后的式(15)引入，確定凸優(yōu)化模型，如式(17)所示：
其中，當(dāng)Mt(E)與Mt-1(E)滿秩時，才能得到全局優(yōu)化解，進行下一步。
步驟3：通過調(diào)用線性優(yōu)化求解器Sedumi工具箱得到最優(yōu)解，進而得到對偶數(shù)實部r。
步驟4：將得到的r代入式(17)中得到對偶部s。
步驟5：輸出對偶四元數(shù)q。
旋轉(zhuǎn)矩陣的凸松弛優(yōu)化流程如圖5所示。
對偶四元數(shù)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的精度計算：
確定參數(shù)精度的必要性在于確保對偶四元數(shù)模型的可靠性和準(zhǔn)確性，便于有效地描述和預(yù)測復(fù)雜算法的行為。基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代算法獲得的最終結(jié)果，需要通過計算精確度來驗證算法的有效性。設(shè)理論點集P和測量點集Q對應(yīng)各點的歐式距離為fi'，由此得出對應(yīng)點的歐式距離和F0=Σfi'，將基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的配準(zhǔn)算法與現(xiàn)有文獻提出的其他配準(zhǔn)算法的結(jié)果進行對比。本文將算法配準(zhǔn)后最小歐氏距離和Fmin設(shè)定為最終誤差。在此基礎(chǔ)上定義B為整體誤差補償率來驗證算法的精確度，如式(18)所示：
進一步定量分析配準(zhǔn)的精度，引入平均誤差
和方差s2E，
是指補償后齒面對應(yīng)點之間距離的均值，可以評判補償算法的優(yōu)劣性，s2E 是對應(yīng)點之間距離與均值之差的平方和的平均值，可以反映各點補償結(jié)果的離散程度。
各位粉絲朋友們，歡迎閱讀本期小編推送的《汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差補償方法》文章。文章主要介紹了提升汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對整車的安全與節(jié)能性能有重要意義。
該文針對汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪實測和理論齒面存在的測量誤差，提出了一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(ICP)齒面測量誤差補償方法。
本篇文章因篇幅較長，特安排兩期推送。
本期推出：汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差補償方法(一)
提升汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對整車的安全與節(jié)能性能有重要意義，該文針對汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪實測和理論齒面存在的測量誤差，提出了一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(ICP)齒面測量誤差補償方法。將誤差補償問題轉(zhuǎn)化為兩曲面的配準(zhǔn)問題，利用對偶四元數(shù)對齒面配準(zhǔn)模型進行表示并得出誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并使用凸松弛的全局優(yōu)化算法對其實部進行優(yōu)化，實現(xiàn)螺旋錐齒輪齒面的精確配準(zhǔn)。結(jié)果表明：螺旋錐齒輪凹齒面的誤差補償率最高達(dá)77%，最大誤差由補償前的22.11μm降至5.64μm，平均誤差由補償前的10.34μm降至2.38μm，該算法與傳統(tǒng)奇異值分解法(SVD)、四元數(shù)法和Levenberg-Marquardt 法(L-M)相比有更高的求解精度和穩(wěn)定性，證明所提出的補償方法具有可行性。
螺旋錐齒輪是機械設(shè)備中關(guān)鍵基礎(chǔ)元件之一，廣泛應(yīng)用于汽車、造船、工程機械、建筑機械和交通運輸機械等領(lǐng)域。汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面的加工質(zhì)量直接影響主減速器齒輪傳動的噪聲、齒輪壽命以及傳遞效率等，進而影響到汽車的質(zhì)量和安全性能。精確的齒面測量和誤差補償可以顯著提高齒輪的嚙合質(zhì)量，減少能量損失，提升傳動效率，降低燃油消耗，促進汽車節(jié)能。因此，對驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差進行分析和補償具有重要意義。
在齒輪測量機測量汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面的過程中，回轉(zhuǎn)軸傾斜和大端端面加工誤差等多種因素導(dǎo)致理論齒面與實測齒面存在偏差。韓連福等分析了齒輪測量機的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由拓?fù)浣Y(jié)果采用多體系統(tǒng)理論建立了齒輪測量機幾何誤差補償模型。邢元等提出一種基于歐式線性空間的軟件誤差補償方法，通過 二級補償機制有效提高齒面加工精度。宋碧云等基于改進的levenberg-marquardt法(levenberg-marquardt，L-M) 并選取敏感性較高的加工參數(shù)對螺旋錐齒輪齒面誤差進行補償。硬件補償方法成本高且零件測量時出現(xiàn)的誤差是不可避免的，軟件補償方法是現(xiàn)在的主流方法，但目前存在計算強度大、迭代不收斂以及誤差補償不夠精確等問題。目前最常用的齒面配準(zhǔn)方法是迭代最近點算法 (iterative closest point，ICP)，其實質(zhì)是基于最小二乘法，將最近點迭代并通過更新兩組曲面數(shù)據(jù)的對應(yīng)關(guān)系，實現(xiàn)兩齒面的精確配準(zhǔn)。LIU Yongsheng等用阻尼Gauss-Newton法代ICP算法中奇異值分解法(singular value decomposition，SVD)來求解幾何變換矩陣，有效實現(xiàn)了測量齒面向理論齒面的配準(zhǔn)補償，但其容易陷入局部最優(yōu)解。ZHOU Lihua等提出了一種匹配點搜索方法，解決了測量齒面與理論齒面之間的對應(yīng)關(guān)系，但其空間復(fù)雜度和時間復(fù)雜度較高。XIE He等提出了基于點到球面配準(zhǔn)的最近鄰精細(xì)配準(zhǔn)算法，將配準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，利用Taylor展開式求解配準(zhǔn)運動參數(shù)，但其需要選擇適當(dāng)?shù)某跏紖?shù)。
為解決現(xiàn)有齒面測量誤差補償方法存在的問題并實現(xiàn)理論齒面與實際齒面偏差的補償，本文首先進行兩齒面之間的配準(zhǔn);針對現(xiàn)有齒面誤差補償方法和ICP算法的局限性，利用對偶四元數(shù)在同時處理旋轉(zhuǎn)和平移變換中的優(yōu)勢，提出一種基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補償算法，以解決傳統(tǒng)ICP方法容易陷入局部最優(yōu)解的問題;利用對偶四元數(shù)獲取誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并進行凸松弛優(yōu)化，以此提高齒面配準(zhǔn)的精度和穩(wěn)定性;最后通過實測實驗驗證本文提出算法的有效性。
1螺旋錐齒輪齒面測量誤差分析
汽車驅(qū)動橋由螺旋錐齒輪、差速器、車輪傳動裝置等關(guān)鍵部件組成，作為汽車傳遞動力的關(guān)鍵組件，其性能和可靠性直接影響整車的動力表現(xiàn)和行駛安全性。 驅(qū)動橋螺旋錐齒輪齒面測量誤差為實際測量齒面與理論齒面之間存在的偏差。如圖1所示，在齒輪軸上建立理論坐標(biāo)系 {O: X, Y, Z}，螺旋錐齒輪齒面任意 理論測量點Pi與其對應(yīng)的實際測量點Qi之間的差即為該點齒面偏差δi。當(dāng)測頭到達(dá)預(yù)設(shè)測量位置時，實際測頭球心C'i與實測點Qi都在法向量ni方向上，齒面與測頭的接觸點Qi處于法線方向nQ上，Qi點到Pi點的距離等于實際測頭球心C'i與理論測頭球心Ci之間的距離di。
設(shè)理論齒面數(shù)據(jù)點集為P，由{P1, P2, ?Pn} 構(gòu)成，實際測量數(shù)據(jù)點集為Q，由{Q1, Q2, ?Qn} 構(gòu)成，齒輪的實測齒面測量點Qi可以由理論齒面數(shù)據(jù)點Pi 、齒面偏差δi和法向量ni表示，如式 (2) 所示：
2傳統(tǒng)對偶四元數(shù)算法及齒面配準(zhǔn)模型
對偶四元數(shù)的形式與性質(zhì)：對偶四元數(shù)表征旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的方式與傳統(tǒng)方式不同，它們之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。理論點構(gòu)成的坐標(biāo)系O和實際測量點構(gòu)成的坐標(biāo)系S之間的變換關(guān)系可以近似地通過一個平移矢量和一個單位四元數(shù)來表示，也可以采用一個更加緊湊和簡潔的方式來表示，即單位對偶四元數(shù)，如式 (3) 所示：
點集Q'與實測點集Q的差值即為誤差矩陣E，如式(8)所示：
基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補償算法是以對偶四元數(shù)的形式將齒面配準(zhǔn)方程分解為旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣2部分，獲取誤差矩陣方程并建立新的問題模型，提取同名特征點并將兩點集進行粗配準(zhǔn)。為得到更精確的配準(zhǔn)結(jié)果，將誤差矩陣方程線性化并對其中的旋轉(zhuǎn)矩陣進行全局優(yōu)化，使用MATLAB的Sedemi工具進行凸松弛優(yōu)化得到全局最優(yōu)解。根據(jù)平均誤差、最大誤差、誤差補償率和方差驗證算法補償結(jié)果的準(zhǔn)確性。
旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)的對偶四元數(shù)表示：對偶四元數(shù)的幾何意義可以表示為2個三維集圍繞著一個軸做剛體運動，先沿著向量n做平移運動至p'點，平移距離為d，然后在p'點繞向量n旋轉(zhuǎn)θ角度到pS點，如圖4所示。
式(4)可以由圖4的幾何關(guān)系重寫，如式(9)所示：
式(4)中的實部r和對偶部s與式(9)中n和θ的關(guān)系如式(10)所示：平移四元數(shù)t'的表示如式(13)所示：將式(14)進行線性化，從實測齒面數(shù)據(jù)點與理論齒面數(shù)據(jù)點中提取同名特征點，可以得到誤差方程， 如式(15)所示：
旋轉(zhuǎn)矩陣的全局優(yōu)化：在實際測量中，汽車驅(qū)動橋螺旋錐齒輪測量齒面與理論齒面的質(zhì)心相差不大，優(yōu)化兩齒面間的平移向量對最終誤差補償效果的影響甚微，所以本文僅針對旋轉(zhuǎn)矩陣進行全局優(yōu)化。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模擬退火、禁忌搜索等啟發(fā)式全局優(yōu)化算法具有廣泛的適用性，但通常需要調(diào)節(jié)多個參數(shù)以實現(xiàn)最佳性能，分支限界法的技巧性更強，由于具體問題的差異，分支限界法的具體實現(xiàn)方法并不具有普適性。凸優(yōu)化方法是通過將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為階數(shù)更低的凸函數(shù) ，將可行區(qū)域轉(zhuǎn)化為凸包絡(luò)，使多極值非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解。針對低階(二次)的非凸函數(shù)優(yōu)化問題，既能保證執(zhí)行效率，又能保證求解的最優(yōu)性。凸松弛優(yōu)化方法最初由D. Hendon等將其應(yīng)用于測算機器視覺中的三維重建問題，常用于機器學(xué)習(xí)、 電力系統(tǒng)等領(lǐng)域，該算法的優(yōu)點是初值不需預(yù)估便獲得最優(yōu)解。為了最大限度確保每次求解的優(yōu)化結(jié)果都能收斂到全局最優(yōu)解，本文提出將對偶四元數(shù)與凸松弛優(yōu)化算法結(jié)合進行求解。為了避免求解過程中出現(xiàn)2個最優(yōu)解的情況，同時確保特征點求解的數(shù)值穩(wěn)定性，增加約束條件 r·sT=0和rT·r=1，并在確定松弛系數(shù)后，利用線性矩陣建立凸優(yōu)化模型。以最小化方程式(8)為幾何誤差目標(biāo)函數(shù)，以對偶四元數(shù)的性質(zhì)為約束條件，建立二階多項式優(yōu)化問題并進行優(yōu)化，具體步驟如下。
步驟1：確定最大迭代次數(shù)，定義對偶四元數(shù)變量：r=(r1, r2, r3, r4)T ，s=(s1, s2, s3, s4)T，初始值 r=(1, 0, 0, 0)T，s=(0, 0, 0, 0)T，建立目標(biāo)函數(shù)minf(r)，如式 (16) 所示：
步驟3：通過調(diào)用線性優(yōu)化求解器Sedumi工具箱得到最優(yōu)解，進而得到對偶數(shù)實部r。
步驟4：將得到的r代入式(17)中得到對偶部s。
步驟5：輸出對偶四元數(shù)q。
旋轉(zhuǎn)矩陣的凸松弛優(yōu)化流程如圖5所示。
確定參數(shù)精度的必要性在于確保對偶四元數(shù)模型的可靠性和準(zhǔn)確性，便于有效地描述和預(yù)測復(fù)雜算法的行為。基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代算法獲得的最終結(jié)果，需要通過計算精確度來驗證算法的有效性。設(shè)理論點集P和測量點集Q對應(yīng)各點的歐式距離為fi'，由此得出對應(yīng)點的歐式距離和F0=Σfi'，將基于對偶四元數(shù)優(yōu)化的配準(zhǔn)算法與現(xiàn)有文獻提出的其他配準(zhǔn)算法的結(jié)果進行對比。本文將算法配準(zhǔn)后最小歐氏距離和Fmin設(shè)定為最終誤差。在此基礎(chǔ)上定義B為整體誤差補償率來驗證算法的精確度，如式(18)所示：
和方差s2E，是指補償后齒面對應(yīng)點之間距離的均值，可以評判補償算法的優(yōu)劣性，s2E 是對應(yīng)點之間距離與均值之差的平方和的平均值，可以反映各點補償結(jié)果的離散程度。