諧波齒輪有多達40%以上的齒對處于嚙合狀態，多齒對間嚙合力求解是高度非線性接觸問題。為揭示柔輪結構對其嚙合點周向剛度的影響規律，課題組提出柔輪嚙合點周向剛度的理論計算方法。將周向力引起的柔輪嚙合點變形拆分為筒體變形和齒體變形，推導周向力作用下柔輪杯底、光筒、齒圈和圓弧過渡部分的扭轉變形及輪齒的彎曲和齒根轉動的理論公式，并基于周向位移等效折算柔輪嚙合點周向剛度(圖9a、b)。提出空間嚙合齒面間的負載側隙和嚙合力的理論迭代算法(圖9c)。基于負載工況下柔輪的周向剛度矩陣和真實齒廓參數計算空載齒間側隙分布，迭代計算負載側隙和嚙合力分布(圖9d-f)。

　　圖9 諧波齒輪嚙合力的計算：(a) 柔輪結構離散模型; (b) 柔輪扭轉剛度的離散計算; (c) 基于動態嚙合側隙和剛度矩陣的嚙合力計算方法; (d) 柔輪的嚙合柔度結果; (e) 動態嚙合側隙結果; (f) 嚙合力結果.

　　3.2 齒圈應力

       齒圈變形引起的彎曲應力是導致柔輪高周疲勞失效的主要因素之一。輪齒結構引起的剛度變化和應力集中效應對齒圈應力具有顯著且復雜的影響。為探究輪齒參數對齒圈彎曲剛度和應力集中的影響，揭示齒圈應力隨輪齒參數的變化規律，課題組基于考慮了齒根圓弧的連續變厚度齒條模型研究了剛度系數和應力集中系數對齒高、齒厚、壁厚和齒根圓角半徑的敏感性。結果表明除齒高外，齒厚、壁厚和齒根圓角半徑對剛度系數和應力集中系數都有顯著的影響(圖10a)。進而，以壁厚為基本量，對齒厚和齒根圓角半角無量剛化，并通過正交仿真實驗研究了剛度系數和應力集中系數以及二者乘機所得的輪齒應力系數的變化規律。最終通過構建空間平/曲面方程擬合了剛度系數、應力集中系數和輪齒應力系數的經驗公式，所得經驗公式所表達的曲面與正交仿真實驗結果基本吻合(圖10b)。

　　圖10 齒圈結構參數對齒圈應力系數的影響：(a) 齒圈應力各系數對齒高、壁厚、齒厚和齒根圓角半徑的敏感性結果; (b) 齒圈剛度系數、應力集中系數和輪齒應力系數的分布規律.

　　3.3 基于虛擬樣機的扭轉剛度研究

       諧波齒輪減速器具有的薄壁柔輪、柔性軸承和高達數百的小模數輪齒為整機建模提出了巨大的挑戰。為建立能夠反映真實工況的有限元虛擬樣機，課題組以高精度計算、易于收斂為目標，對凸輪、柔性軸承、柔輪和剛輪進行了精確建模，對網格進行了分區域跨尺度劃分，在滾珠與軸承層溝道、輪齒等接觸部位劃分了細密的結構化六面體網格(圖11a-c)。由內至外建立了凸輪-軸承內環-滾珠-軸承外環-柔輪-剛輪的五級非線性接觸，考慮了不同的接觸關系的摩擦狀態，合理的選擇了摩擦系數。

        課題組基于諧波減速器的有限元虛擬樣機，固定凸輪時在輸出端施加扭矩載荷，獲得了齒面的接觸比壓(圖11d)，揭示了齒面的實際接觸區域，獲得了齒面承擔負載的位置。同時該有限元虛擬樣機模型能夠較為準確的反映諧波齒輪減速器的整機扭轉剛度特性(圖11e)。同時，課題組通過對有限元虛擬樣機施加不同大小的扭矩載荷，觀察了柔輪在負擔不同大小扭矩載荷下的變形。結果顯示，在承擔較小載荷時，嚙入區的間隙基本就已經被消除，嚙出區產生了不顯著的畸變，隨著負載的增大，柔輪的畸變也逐步顯著起來。

圖11 有限元虛擬樣機及嚙合性能高分析：(a-c) 有限元虛擬樣機; (d) 嚙合齒面間的接觸比壓分布; (e) 整機扭轉剛度; (f) 負載工況下柔輪的徑向變形位移.

　　3.4 諧波減速器傳動誤差頻譜分析

       諧波齒輪的多齒共軛嚙合狀態和柔輪的薄壁彈性結構能夠在一定程度上均衡輪齒的制造誤差所帶來的影響。但工程實際中，諧波減速器的傳動誤差依然是一個顯著的問題。為了改善工程實踐中諧波減速器的傳動精度，課題組對其傳動誤差進行了溯源(圖12a、b)和頻譜分析(圖12c)，研究了凸輪、柔輪和剛輪的制造及安裝誤差對整機傳動誤差的影響。并基于波形疊加原理，揭示了傳動誤差中紡錘、波浪等宏觀形貌的產生機理(圖12d)，可以為快速定位問題零部件，提出改善方案提供一定的理論支撐。

圖12 諧波減速器的傳動誤差：(a-b) 誤差溯源分析; (c) 誤差信號的頻譜分析; (d) 誤差主頻信號的疊加特性.