RV 減速機(jī)因具有精度高、剛度大、耐過載及結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)而用于工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)。RV 減速機(jī)二級傳動的擺線齒輪置于輸出行星架與輸入行星架之間，其齒面在實(shí)際工況中承受較大的沖擊載荷，齒面強(qiáng)度及耐磨性對 RV 減速機(jī)的壽命、精度保持及耐久性有直接的影響。
擺線齒輪的安裝精度、有效受載區(qū)域、材料和熱處理都影響著擺線齒輪的齒面壽命。針齒與擺線齒面的接觸區(qū)域在交變載荷的作用下會產(chǎn)生復(fù)雜的耦合變形和應(yīng)力集中。RV 減速機(jī)的主軸承在外部載荷下會產(chǎn)生傾斜角，而傾斜角的產(chǎn)生在 一定程度上會改變擺線齒面與針齒的相對位置，產(chǎn)生齒面偏載。
目前，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對擺線齒輪的研究大多集中在動態(tài)性能方面，擺線齒輪齒面接觸應(yīng)力的研究也僅僅局限在周向，目前有關(guān)擺線齒輪齒寬方向上接觸應(yīng)力分布的理論研究還未見相關(guān)報道。經(jīng)典赫茲理論是最早的接觸應(yīng)力求解的理論，它在接觸分析中占統(tǒng)治地位，但是無法解釋邊緣接觸現(xiàn)象;赫茲線接觸問題的提出是基于無限長線接觸的假設(shè)，但針齒在接觸中長度一般大于齒面的寬度，當(dāng)針齒的母線不是直線且針齒相對于擺線齒面產(chǎn)生安裝誤差時，問題將變得復(fù)雜，為非赫茲接觸問題。
本文采用數(shù)值分析方法在計及彈性變形和側(cè)隙求解嚙合區(qū)域的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)計算指定載荷下和偏斜角度下擺線齒輪理想狀態(tài)和傾斜安裝誤差的接觸區(qū)域?qū)挾燃敖佑|應(yīng)力分布，可為 RV 減速機(jī)擺線齒輪的設(shè)計及強(qiáng)度評價提供理論依據(jù)。
一、減速機(jī)結(jié)構(gòu)及擺線齒輪齒面受力
RV減速機(jī)結(jié)構(gòu)
如圖1所示，輸入軸與行星齒輪嚙合傳遞載荷，行星齒輪與曲軸通過花鍵傳遞載荷，擺線齒輪通過滾針軸承鉸接在曲軸上，并與針齒圈上的針齒嚙合，曲軸通過圓錐滾子軸承支撐在行星架上，針齒圈通過主軸承與行星架支撐。
擺線齒輪齒廓方程及曲率半徑
根據(jù)擺線齒輪的嚙合及成形原理，擺線齒輪有移距修形、等距修形和轉(zhuǎn)角修形三種修形方式。含有這三種修形的齒廓方程為
式中，zp 為針齒齒數(shù);zc 為擺線齒輪齒數(shù);rp 為針齒分布圓半徑;rrp 為針齒半徑;e為偏心量;φ為轉(zhuǎn)臂相對針齒的轉(zhuǎn)角;δ0 為轉(zhuǎn)角修形量;Δrp 為移距修形量;Δrrp 為等距修形量。
根據(jù)微積分公式，齒廓上任一點(diǎn)的曲率為
式中，x′φ為xc 對轉(zhuǎn)角φ的一階求導(dǎo);y′φ為yc對轉(zhuǎn)角φ的一階求導(dǎo);x″φ為xc對轉(zhuǎn)角φ 的二階求導(dǎo);y″φ為yc對轉(zhuǎn)角 φ 的二階求導(dǎo)。
擺線齒廓修形后的齒廓曲率半徑為
擺線齒輪齒面受力分析
如圖2所示，擺線齒輪在扭矩T的作用下，第 i個針齒所受的力為Fi，嚙合點(diǎn)公法線方向上的彈性變形量為δi，設(shè)受力最大值為Fmax，對應(yīng)的嚙合點(diǎn)變形量為δmax。第i個針齒相對轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)角為φi，令初始側(cè)隙為 Δs(φi)，則
由于最大受力點(diǎn)不一定剛好落在φ=arccosK1 處，因此，在不考慮非線性因素的情況下，可推導(dǎo)出各個嚙合處公法線方向上的彈性變形量δi 與最大變形量δmax 之間的關(guān)系為
經(jīng)過修形后，擺線齒輪與針齒之間產(chǎn)生間隙，其法向方向的初始側(cè)隙 Δs(φi)為
當(dāng)變形量大于初始側(cè)隙時擺線齒輪齒面便與針齒接觸。初始側(cè)隙小于變形量的區(qū)域便為齒面嚙合區(qū)域。設(shè)初始接觸針齒號為 m，最后接觸的齒號為n，則由平衡方程可得
式中，li 為第i個齒嚙合點(diǎn)的公法線到擺線齒輪中心的距離;r′c為擺線齒輪的節(jié)圓半徑。
由于針齒埋在齒槽中，其針齒的彎曲變形可以忽略不計，因此，最大變形δmax 與最大接觸力 Fmax 之間的關(guān)系可表示為
式中，ρ0 為φ=arccosK1 處的齒廓曲率半徑;μ為材料泊松比;E 為彈性模量;b為擺線齒輪齒寬。
聯(lián)立上述方程便可求解出嚙合區(qū)域內(nèi)對應(yīng)齒的受力Fi。
二、擺線齒輪齒面接觸問題
擺線齒輪曲率半徑隨著轉(zhuǎn)角φ 的變化而變化，如圖3所示。
在齒部凹面的位置，其曲率半徑為正;在齒部凸面的位置，其曲率半徑為負(fù)。因此，當(dāng)針齒在凹面與擺線齒輪接觸時，其綜合曲率半徑ρn 可表示為
當(dāng)針齒在凸面與擺線齒輪接觸時，其綜合曲率半徑ρn 可表示為
三、擺線齒輪齒面接觸應(yīng)力數(shù)值計算
擺線齒輪齒面接觸理論
針齒和擺線齒輪的齒面接觸屬于線接觸問題。如圖4所示，設(shè) M1 和 N1 是距離x=0平面為xa 且在同一平面上的兩個點(diǎn)，它們到接觸線所在平面z=0的距離分別為z1 和z2。
在外力P 的作用下，兩個物體軸向間的距離縮短了彈性趨近量δ，同時在接觸線位置產(chǎn)生了寬度為2a 的接觸區(qū)域，接觸區(qū)域的最大應(yīng)力為 p0，其接觸區(qū)域應(yīng)滿足如下方程：
式中，E′為綜合彈性模量;E1、μ1 分別為擺線齒輪的彈性模量和泊松比;E2、μ2 分別為針齒的彈性模量和泊松比;z(x，y)表示接觸區(qū)域表面幾何函數(shù)。
式(12)等號左側(cè)的被積函數(shù)為彈性力學(xué)中的Boussinesq解，它表示集中力p 作用在半空間表面的一點(diǎn)(x′，y′)上而在點(diǎn)(x，y)處產(chǎn)生的位移。這里隱含了基本假設(shè)：接觸區(qū)域的尺寸應(yīng)遠(yuǎn)小于接觸體曲率半徑，否則 Boussinesq解不能適用。在一般情況下，式(12)不能找到理論解，只能采用數(shù)值計算的方式求解。
基于對線接觸問題的理解，將齒寬沿著接觸方向劃分為 N 個單元，如圖5所示。設(shè)p0j 為單元j中心的最大接觸應(yīng)力，2aj 為接觸單元的寬度，2hj 為接觸單元的高度，則
根據(jù) Hertz接觸理論，可得
其中，Rj 為單元j的綜合曲率半徑。只要能確定 p0j 沿y 軸的分布，就能確定aj，而求解p0j是一維問題，將式(13)代入式(11)和式(12)，可得
式中，Di′j 為柔度系數(shù);yi′ 為在接觸線方向上第i′個單元到起始端的距離;θerr 為安裝誤差角度;zbi′ 為針齒修緣參數(shù)函數(shù)。
式(15)和式(16)組成了N +1個方程組，在求解過程中方程必須滿足條件p0j ≥0，即可求解出p0j(j=1，2，…，N)和δ。
齒部修緣設(shè)計
當(dāng)坐標(biāo)建立在針齒中部時，齒部母線由兩條關(guān)于y 軸對稱的對數(shù)曲線組成，母線中部近似于直線，齒部的兩端曲率變化快。對數(shù)曲線滿足以下方程：
式中，F(xiàn) 為針齒受到的載荷;l 為針齒寬度;kb 為偏載系數(shù)。
擺線齒輪齒寬接觸應(yīng)力計算流程
綜上所述，將擺線齒輪齒面齒寬接觸應(yīng)力的計算方法步驟匯總?cè)缦拢溆嬎懔鞒倘鐖D6所示。
(1)輸入擺線齒輪基本參數(shù)：針齒齒數(shù)zp、擺線齒輪齒數(shù)zc、針齒分布圓半徑rp、針齒半徑rrp、 偏心量e、移距修形量Δrp、等距修形量Δrrp、擺線齒輪齒寬b、針齒寬度l、沿齒寬方向劃分的單元數(shù) N、擺線齒輪彈性模量E1 及泊松比μ1、針齒彈性模量E2 及泊松比μ2、減速機(jī)扭矩T。
(2)初選
計算Fx =(F1 +F2)/2作為初始值。
(3)將Fx 作為Fmax 代入式(8)中計算δmax。
(4)將δmax 代入式(5)中計算接觸點(diǎn)彈性變形量。
(5)計算側(cè)隙，判斷嚙合區(qū)間，根據(jù)式(7)計算Fx2 =Fmax。
(6)判斷Fx2 與Fx 之差的絕對值是否滿足預(yù)設(shè)精度ε，若滿足，則取Fx2 與Fx 之和的一半作為 Fmax;若不滿足，則令Fx = Fx2，并返回步驟(3)。
(7)將Fmax 代入式(4)，計算出Fi。
(8)選擇需要計算的齒號，計算其綜合曲率半徑Rj。
(9)利用
計算aj 及pj 初值。
(10)在齒寬方向上劃分單元hj=0.5b/N，利用δ=0.5a2j/Rj 計算彈性趨近量δ 初值。
(11)計算
(12)根據(jù)式(17)計算柔度系數(shù) Di′j。
(13)令最大接觸寬度a0j=aj，最大接觸應(yīng)力
(14)重新計算
(15)判斷p0j 是否大于零，若是，則執(zhí)行步驟 (16);若不是，則令p0j =0，aj =0，并返回步驟 (12)。
(16)判斷|aj-a0j|是否小于或等于預(yù)設(shè)精度ε1，若滿足，則執(zhí)行步驟(17);如果不滿足，則令 aj =(aj +a0j)/2，并返回步驟(12)。
(17)計算
判斷|P1-P|/ P 是否小于或等于預(yù)設(shè)精度ε2，如果不滿足，則調(diào)整δ，并返回步驟(11)。
四、計算實(shí)例
為驗(yàn)證上述計算方法的可行性，本文采用某型號RV減速機(jī)的擺線齒輪進(jìn)行分析，其參數(shù)如表1所示。
本文分析不計及第一級傳動的漸開線齒輪，只分析第二級傳動的擺線齒輪受力。RV 減速機(jī)通過行星架上的螺釘連接傳遞扭矩，行星架所受扭矩等于擺線齒輪承受的扭矩，因此，擺線齒輪受到的負(fù)載等于行星架受到的負(fù)載。
當(dāng)擺線齒輪承受的負(fù)載為412N·m 時，彈性變形曲線與側(cè)隙相交的區(qū)間為[6.588°，121.819°]，如圖7所示，轉(zhuǎn)化為嚙合有效區(qū)間為2號齒到14 號齒。
隨著負(fù)載逐漸的增大，嚙合區(qū)間范圍逐漸增大，參與齒數(shù)隨之增加，參與嚙合的各個齒所受到的力的波動程度也逐漸加劇，其數(shù)據(jù)如表2所示。
由圖8可以看出，隨著負(fù)載逐漸增大，曲線左右兩側(cè)的斜率越來越陡，極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐步增大，而極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)集中在5號齒，該位置處在擺線齒輪的拐點(diǎn)附近。擺線齒輪拐點(diǎn)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)角為arccos((1+zpK21)/K1(zp +1))，具體齒號對應(yīng)的轉(zhuǎn)角φi 為(i-1)×360°/zp。計算結(jié)果如表3所示。由接觸點(diǎn)半徑得知，5號齒非常接近拐點(diǎn)，4號齒次之。
由圖8得知，從齒廓拐點(diǎn)附近開始，越往齒頂?shù)姆较?，齒部接觸力越小，這是因?yàn)榇瞬糠纸佑|齒所承受的負(fù)載比例很小。
在同一位置，當(dāng)負(fù)載T1 為412N·m時，擺線齒輪的4號齒到7號齒承受50.14% 的負(fù)載T1;當(dāng)負(fù)載T2 為618N·m時，擺線齒輪的4號齒到8號齒承受57% 的負(fù)載T2;當(dāng)負(fù)載T3 為1030N·m 時，擺線齒輪的4號齒到9號齒承受62.1% 的負(fù)載T3;當(dāng)負(fù)載T4 為2060N·m 時，擺線齒輪的4 號齒到10號齒承受66.02% 的負(fù)載 T4。這說明擺線齒輪拐點(diǎn)附近承受著大部分負(fù)載，約35% 參與嚙合齒數(shù)承擔(dān)著58% 的負(fù)載。同時說明隨著負(fù)載的增大，擺線齒輪拐點(diǎn)附近的齒所承受的負(fù)載比例也在逐步增加，但隨著負(fù)載的增大，接觸齒所承受的負(fù)載比例η的變化趨勢逐漸緩慢，如圖9 所示。
當(dāng)負(fù)載為412N·m 時，選定5號齒，對其進(jìn)行齒寬方向的應(yīng)力計算，仿真結(jié)果如圖10所示。90% 的齒寬整體應(yīng)力分布均勻，但是兩邊各有5% 的齒寬出現(xiàn)了接觸應(yīng)力凸起。由于擺線齒輪和針齒在齒寬方向上沒有進(jìn)行修形(即修緣量 δa =0)，所以擺線齒輪的齒寬方向會出現(xiàn)明顯的邊緣接觸現(xiàn)象，而且隨著負(fù)載的增大，其邊緣接觸現(xiàn)象逐漸加劇。這從理論上解釋了擺線齒輪齒寬方向兩邊容易出現(xiàn)疲勞剝落的現(xiàn)象。
如圖11所示，同樣地，隨著載荷的增大，5號齒的齒寬方向上接觸寬度隨之增大。擺線齒輪兩邊均有明顯的接觸寬度凸起，而齒寬中部接觸區(qū)域的接觸寬度相對均勻。
為直觀地查看接觸應(yīng)力的變化，將負(fù)載為412N·m 情況下的接觸應(yīng)力分布轉(zhuǎn)化為三維，如圖12所示。
接觸寬度的零點(diǎn)位置在x =0的截面上，處于接觸區(qū)域的中間，接觸寬度的零點(diǎn)對應(yīng)分布接觸應(yīng)力的最高值。這個截面上的應(yīng)力分布如圖10所示，兩旁的應(yīng)力分布符合式(13)。由于針齒未修形，因此齒寬兩邊的接觸寬度aj 沒有明顯的閉合趨勢，反而隨著載荷的增大，兩邊的接觸寬度 aj 有增大趨勢。在指定載荷下，如果修形量適當(dāng)增大，齒寬兩邊的接觸寬度aj 會產(chǎn)生閉合，以減少齒面兩端的應(yīng)力集中;若修形量過大，雖然齒寬兩邊的接觸寬度aj 閉合，但會導(dǎo)致接觸區(qū)域減小，繼而使得齒寬中部的接觸應(yīng)力過大，并加速齒面疲勞。修形量應(yīng)根據(jù)實(shí)際工況及安裝誤差等條件選取。
當(dāng)負(fù)載為412N·m時，對針齒進(jìn)行齒寬方向的修緣：偏載系數(shù)kb 取1.5，修緣量δa的最大值為 1.5μm，其針齒齒寬方向的齒廓如圖13所示。
5號齒的齒寬方向三維接觸應(yīng)力分布如圖14 所示。擺線齒輪無齒向修緣，針齒齒寬方向修緣后，擺線齒輪齒寬中部的接觸應(yīng)力分布基本不變，擺線齒輪兩邊的接觸應(yīng)力從急劇增大變?yōu)榫徛交瑴p小，邊緣接觸現(xiàn)象消失，有助于緩解擺線齒輪的接觸應(yīng)力集中，從而延長齒面壽命。
當(dāng)負(fù)載為412N·m 時，擺線齒輪無齒向修緣，針齒齒寬方向未修緣，擺線齒輪沿著軸向方向傾斜0.01°，5號齒的齒寬方向接觸應(yīng)力分布如圖 15～ 圖17所示。
由圖15～ 圖17可以看出，齒寬的接觸應(yīng)力分布沿著偏載方向加劇，不再是圖10所示的齒寬中部的接觸應(yīng)力緩和均勻分布。齒寬兩邊都存在邊緣接觸現(xiàn)象，但是右邊的邊緣接觸現(xiàn)象比左邊的邊緣接觸現(xiàn)象嚴(yán)重。左邊的接觸寬度小，所對應(yīng)的接觸應(yīng)力小;右邊的接觸寬度大，所對應(yīng)的接觸應(yīng)力也大，末端有急劇增大的趨勢，偏載加速了偏載端面的齒面疲勞。
當(dāng)負(fù)載為412N·m 時，擺線齒輪無齒向修緣，對針齒齒寬方向進(jìn)行修緣，偏載系數(shù)kb 取 1.5，修緣量δa 的最大值為1.5μm，其針齒齒寬方向的齒廓如圖13所示。擺線齒輪沿著軸向方向傾斜0.01°，5號齒的齒寬方向接觸應(yīng)力分布如圖 18～ 圖20所示。
由圖18～ 圖20可以看出，當(dāng)擺線齒輪沿著軸向方向傾斜0.01°時，擺線齒輪無齒向修緣，針齒修緣后，雖然擺線齒輪齒寬方向的接觸長度隨之減小，但是擺線齒輪兩邊的邊緣接觸現(xiàn)象消失。接觸區(qū)域的寬度aj分布較修緣之前的寬度分布變得更加均勻，在接觸區(qū)域的左邊，接觸寬度 aj沿著偏載方向從零逐漸增大，在接觸區(qū)域的右邊沒有產(chǎn)生閉合，但是接觸寬度aj有減小的趨勢。擺線齒輪齒寬接觸應(yīng)力分布沿著偏載方向緩和過渡，在一定程度上延長了擺線齒輪的齒面壽命，這說明針齒修緣對擺線齒輪的安裝偏差有一定的適應(yīng)性。
五、加載試驗(yàn)
為盡量減小不合格參數(shù)對 RV 減速機(jī)加載試驗(yàn)結(jié)果的影響，在加載之前測試 RV 減速機(jī)的綜合性能，使得被測的 RV 減速機(jī)性能滿足表4所示的標(biāo)準(zhǔn)。
本次試驗(yàn)采用的 RV 減速機(jī)如圖 21 所示。加載用的試驗(yàn)臺如圖22所示，采用連續(xù)加載的方式對 RV 減速機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)。
在鑄鐵平板上安裝試驗(yàn)臺架，將被測減速機(jī)安裝在豎直的臺架平板上，電機(jī)安裝在平板的另外一 端，通過輸入齒輪將動力傳遞給行星齒輪。安裝好后，將加載桿通過測試工裝、螺釘與減速機(jī)輸出行星架上的螺紋孔連接，最后在加載桿上添加負(fù)載，通過旁邊的控制臺控制電機(jī)的運(yùn)行。
將被測 RV 減速機(jī)裝入試驗(yàn)臺后，在 RV 減速機(jī)輸出端施加615N·m 的負(fù)載，經(jīng)過超額的加載時間跑合后，擺線齒輪部分齒的齒面出現(xiàn)接觸痕跡，并非擺線齒輪的一半齒數(shù)參與接觸，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于加載后發(fā)生了彈性變形，以及側(cè)隙的作用下只有少數(shù)齒參與接觸嚙合。
在本次試驗(yàn)中，被測 RV 減速機(jī)中的擺線齒輪齒面上有13處接觸痕跡，而有5處痕跡尤其明顯，這5處集中在齒面拐點(diǎn)附近，越遠(yuǎn)離拐點(diǎn)的齒號，其受力會逐漸減小，接觸痕跡也會逐漸減輕。這說明被測擺線齒輪中靠近齒廓拐點(diǎn)的部分齒承擔(dān)大部分負(fù)載。取靠近拐點(diǎn)處的5號齒，在接觸痕跡涂抹紅印，采集后的印痕如圖23所示，齒寬方向的接觸痕跡往偏載方向逐漸擴(kuò)大，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的趨勢一致，較為吻合。
圖23 接觸印痕
被測 RV 減速機(jī)在超載及超額的加載時間跑合后，齒面不可避免地會出現(xiàn)磨損。仿真的接觸寬度所在區(qū)域小，而實(shí)際的磨損區(qū)域大，主要是因?yàn)閷?shí)際接觸區(qū)域旁邊存在接觸應(yīng)力輻射區(qū)，經(jīng)長期運(yùn)行后，磨損區(qū)域逐步擴(kuò)大;此外，在實(shí)際運(yùn)行中減速機(jī)內(nèi)部擺線齒輪的偏載角度存在偏差。
經(jīng)超載超額時間跑合的 RV 減速機(jī)中的兩片擺線齒輪均發(fā)生磨損，擺線齒輪齒面磨損的趨勢基本一致，但是靠近輸出端的擺線齒輪齒面磨損痕跡相對明顯，出現(xiàn)這樣的情況主要是因?yàn)椋捍嬖谝欢ǖ膬A斜角度下，靠近輸出端的擺線齒輪的齒面干涉量較大，偏載更為嚴(yán)重。
六、結(jié)論
(1)計及擺線齒面彈性變形及側(cè)隙計算了特定載荷下擺線齒輪齒面的有效接觸區(qū)域及其分布力。隨著負(fù)載的逐漸增大，參與齒數(shù)隨之增加，但是參與嚙合的各個齒所受力的波動程度也逐漸加劇。
(2)在同一位置，隨著負(fù)載的逐漸增大，受力曲線左右兩側(cè)的斜率越來越大，極值點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐步增大，而極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)基本集中在5號齒，該位置處于擺線齒輪的拐點(diǎn)附近，擺線齒輪拐點(diǎn)附近承受著大部分負(fù)載。從齒廓拐點(diǎn)附近開始，越往齒頂?shù)姆较?，齒部接觸力越小，且這部分接觸齒所承受的負(fù)載比例很小。
(3)在同一位置，隨著負(fù)載的增大，擺線齒輪拐點(diǎn)附近的齒所承受的負(fù)載比例也在逐步增加，但隨著負(fù)載的增大，負(fù)載比例變化趨勢逐漸緩慢。
(4)利用力平衡方程和變形協(xié)調(diào)方程建立擺線齒輪齒寬方向的接觸應(yīng)力數(shù)學(xué)模型，給出了其求解步驟及計算流程圖，該方法可以分析不同載荷、安裝誤差及修緣量下擺線齒輪周向及軸向的接觸應(yīng)力分布及接觸寬度分布。
(5)通過試驗(yàn)和仿真驗(yàn)證了該數(shù)值分析方法的可行性和正確性。通過該方法計算擺線齒輪的有效嚙合區(qū)域、分布力及齒寬接觸應(yīng)力分布，可為產(chǎn)品的設(shè)計及強(qiáng)度評價提供理論依據(jù)。
參考文獻(xiàn)略.