螺旋錐齒輪具有傳動比平穩、承載能力強、傳動噪音低以及壽命長等優點，而被廣泛應用于航空、汽車、船舶等領域。但由于螺旋錐齒輪的齒面呈超越非線性方程、形態非常地復雜，導致螺旋錐齒輪的加工和測量難度很大。國外發達國家具有較高螺旋錐齒輪測量技術，因此研究螺旋錐齒輪的測量技術，對提高我國螺旋錐齒輪的加工和測量水平具有十分重要的意義。
高精度的測量方法直接影響著螺旋錐齒輪的加工精度。目前，三坐標測量機是測量螺旋錐齒輪齒面的有效設備，不僅可以降低測量成本，而且具有較高的測量精度。隨著三坐標測量機相關技術的發展，其測量精度越來越高、應用范圍越來越廣，三坐標測量技術也被廣泛的應用于齒輪的精度測量。但是，如何進一步提高測量精度和測量效率一直是研究學者關心的熱點問題。邢彬建立了齒面數學模型，借助軟件分析了齒面離散點和齒輪實體模型，得到了有效的實驗結果。劉明亮利用三坐標測量機和三維掃描儀對螺旋錐齒輪的齒輪測量技術進行的研究，并得到了有效的結論。武冠宏等建立了齒面方程，通過實驗對比表明了三坐標測量機的對螺旋錐齒輪的測量偏差明細小于其他測量設備。皮春琳利用掃描式三維測頭對螺旋錐齒輪進行測量研究，并完成了齒形和齒距等測量實驗。張婧等利提出了一種自適應分布法對螺旋錐齒輪齒面進行測量研究，并驗證了方法的有效性。高延峰等利用遺傳算法對具有復雜曲面工件的測量路徑進行了優化研究，提高了測量效率，但忽略了算法容易陷入局部最優等缺陷。
本文針對三坐標測量機在測量螺旋錐齒輪齒面時路徑優化問題，建立了齒輪測量路徑模型，提出了利用粒子群算法(ParticleSwarmOptimization，PSO)對測量路徑進行優化分析。為了提高 PSO 算法的效果，對權重系數和學習因子進行了改進。最后，仿真實驗結果表明，本文改進的PSO算法具有較好的全局搜索能力、局部搜索能力和較高的運算效率，且能獲得較好的測量路徑。
一、齒面測量路徑
眾所周知，螺旋錐齒輪的齒面時一個非常復雜的空間曲面，利用三坐標測量機來測量螺旋錐齒輪的齒面形狀，主要是預先設置好測量坐標，然后逐點進行測量。增加測量點數是提高測量精度的有效方法，但是隨著測量點數的增加，測量路徑的優化就顯得尤為重要。當確定了測量點的坐標后，測量路徑的優化直接影響著測量效率，特別是在測量點分布不均勻時，這種影響更加明顯。此外，當測量路徑規劃錯誤時，勢必將導致測頭與工件發生碰撞。由此可見對測量路徑的是必不可少的，其不僅可以減少測量過程的空運行，而且可在測頭與工件不碰撞的前提下以最短的路徑完成測量工作，從而提高測量效率。圖1所示為本文研究的螺旋錐齒輪齒面測量路徑示意圖。
圖1 齒面測量路徑
如圖1所示，利用三坐標測量機在測量過程中，大致可以分為到達定位點、接近測量點和退回到回退點三個過程。首先，測頭以較快的速度到達指定的第一個定位點A，然后以測量點 C的法向方向運動至C點，如圖AC路徑所示;完成測量之后，退回至回退點B，如圖CB路徑所示。到此，完成一個測量點的測量工作。之后，測頭運動至一個定位點D，測量點F，回退點E完成相應的測量工作。因此，可以推出測頭完成一個測量點的測量工作時，移動的距離為：
式中，d1為定位點至目標測量點之間的距離；d2為測量點至回退點之間的距離；d3為回退點至下一個定位點之間的距離。
若在整個齒面測量工作中，測量點的總和為 N，則齒面的測量路徑可以表示為：
通過上述分析可以發現，不論測量點的選取情況如何，d1和d2均為固定值，即齒面的測量路徑只受d3的影響。因此齒面測量路徑的優化目標函數可以進一步表示為：
式 中，(xi，yi，zi)和(xi+1，yi+1，zi+1)分別為第i和第i+1個測量點的坐標值。
二、PSO算法的改進
PSO算法：粒子群優化算法是由Eberhart博士和 Kennedy博士發明的一種進化算法，其源于對鳥群捕食行為的研究。在 PSO 算法中，將所要優化問題的解都認為是搜索空間的一只小鳥，并抽象為一個微小的粒子，延伸至N維空間。在N維空間中的每一個粒子描述為一個相對應的矢量，粒子在空間中的飛行速度也描述為一個相對應的矢量。PSO 算法本質上是一種迭代優化的算法，利用迭代來尋找最優值。
在 PSO 算法運算時，首先初始化一群隨機粒子，然后所有的粒子會跟隨當前最優粒子在 N 維空間中搜索，直至找到最優解。若在 N 維空間中第i個粒子的速度為Vi =(vi，1，vi，2，…，vi，N )，位置為 Xi =(xi，1，xi，2，…，xi，N )，則在迭代過程中，粒子會跟蹤個體極值Pi =(pi，1，pi，2，…， Pi，N)和全局最優解 Pg 來更新自己。即，粒子將以式(4)更新自己的速度和位置：
式中：ω為慣性權重；c1，c2為正的學習因子；r1，r2為隨機數，且r1，r2∈rand(1)。
PSO算法的改進：傳統的 PSO 算法雖然具有較好的優化性能，但是其在迭代過程中容易陷入早熟和局部最優。因此為了提高 PSO 算法的性能，本文提出了以下方法對其進行改進：
(1)權重系數的改進
權重系數直接影響了粒子對當前速度的繼承量、粒子探索能力和開發能力的均衡性。為了克服傳統權重系數線性遞減無法找到最優點而陷入局部最優的缺點，本文采用隨機權重法。首先，若在算法初期粒子接近最好的點，隨機權重法將產生較小的權重值 ，提高算法的收斂速度;若算法在初期無法找到最好的點，隨機權重法可使得算法跳出局部最優。具體公式如下：
式中，N(0，1)為服從標準正態分布的隨機數；rand (0，1)為0至1之間的隨機數。
通過式(5)可以發現，將權重系數設定為服從正態隨機分布的隨機數，這樣使得 PSO 算法在初期如果粒子接近最好的點，將具有較小的權重值，提高算法的收斂速度;如果在初期PSO 算法未能找到最好的點，則可使算法輕松的跳出局部最優。
(2)學習因子的改進
在PSO 算法中，除了權重系數之外，學習因子對 PSO 算法的性能同樣也具有重要的影響。對于 PSO 算法，在算法初期較大的c1 和較小的c2，能使其具有更好的全局搜索能力，可較大范圍的尋找最優解；在算法后期較大的 c2 和較小的c1，能使其具有更好的局部搜索能力。因此，為了提高綜合 PSO 算法的全局搜索能力和局部搜索能力，本文采用非線性變化方法對學習因子進行改進，具體如式(6)所示：
式中，Tmax為最大迭代數，t為當前迭代數。
通過式(6)可以發現，隨著迭代數t的增加，使得在算法初期具有較大的c1 和較小的c2，在算法后期具有較大的c2 和較小的c1。因此，綜合了PSO算法的全局搜索能力和局部搜索能力，提高了算法的運行效率。
改進 PSO算法的流程：
Step1：設置 PSO 算法的相關參數(種群大小、最大迭代數，隨機權重平局值的最大值和最小值，隨機權重方差)，隨機初始化種群中各粒子的位置和速度；
Step2：計算各個粒子的適應度值，保存各個粒子的當前位置和適應值，并比較所有的粒子的適應值，將最優的賦值于Pg；
Step3：利用式(4)更新粒子的速度和位置；
Step4：利用式(5)和式(6)更新權重和學習因子；
Step5：將各個粒子的適應值和最好的位置進行比較，如果粒子的適應值較好，則將其視為當前的最好位置，并且將當前的Pi 和Pg 進行更新；
Step6：判斷是否滿足算法停止條件。若滿足，算法停止，輸出最終結果；否則算法跳轉至Step2。
三、齒面測量路徑優化
利用三坐標測量機測得螺旋錐齒輪齒面測量點的分布情況，如圖2所示，一共有70個點。為了驗證本文提出算法的性能，分別利用遺傳算法、傳統PSO算法和本文改進的PSO算法對測量路徑進行優化分析，對比三種算法的優化結果。由于算法的優化過程具有一定的隨機性，為了使比較結果更有說服力，對三種算法分別獨立運行30次，并取其均值進行比較，三種算法的運行結果如表1所示。
圖2 測量點
表1 三種算法運行結果比較
分析表1對比結果可知，本文提出的改進PSO算法求得的最優路徑優于其他兩種算法，傳統PSO次之，遺傳算法的效果最差。此外，對比算法的運算時間可以發現，本文提出的改進PSO算法同樣具有最高的運算效率。結果表明，本文提出的改進 PSO 算法由于其他兩種算法。
圖3 三種算法迭代對比
為了能更加直觀的觀察算法的運行過程，圖3給出了三種算法某次運行時的情況對比。從圖中可以看出傳統PSO 算法很快就陷入了局部最優、遺傳算法雖然在開始階段可以跳出局部最優，但是其收斂能力比其他兩種算法差，本文提出的改進PSO算法雖然收斂速度較慢，但具有較小的適應度值。進一步表明，本文提出的隨機權重法和非線性變化學習因子，使算法具有較好的全局搜索能力和 局部搜索能力，能跳出局部最優化，尋找到真正的最優解，提高了算法的運行效率。
四、結論
提出的改進PSO算法獲得的測量路徑明顯短于其他算法，且運行時間較短。因此，本文提出的方法可以有效降低螺旋錐齒輪齒面測量成本、提高測量效率，為螺旋錐齒輪齒面測量路徑優化提供有效的參考借鑒。
參考文獻略.