齒輪傳動(dòng)作為應(yīng)用最廣泛的機(jī)械傳動(dòng)方法之一，在制造領(lǐng)域有著至關(guān)重要的作用。齒輪的制造精度對(duì)齒輪傳動(dòng)的壽命與性能有著直接的影響，隨著對(duì)制造業(yè)提出的更高要求，齒輪傳動(dòng)也朝著高精度、長(zhǎng)壽命、高效率、低噪聲等方向發(fā)展。齒輪的制造誤差影響著傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度和平穩(wěn)性，并有可能導(dǎo)致振動(dòng)沖擊，影響傳動(dòng)件壽命。因此，齒輪制造誤差的研究對(duì)齒輪傳動(dòng)有著重要意義。目前，對(duì)齒輪制造誤差的表征可根據(jù)加工過(guò)程中嚙合關(guān)系及其變化規(guī)律進(jìn)行如圖1所示的分類(lèi)。

　　在齒輪制造誤差研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了廣泛的研究。Li等建立了多體動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)對(duì)Solidworks 進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)獲得了三維模型，最后用Adams進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真分析;任菲等在研究人字齒傳動(dòng)特性時(shí)考慮了偏心誤差和齒廓誤差這兩種制造誤差;劉瑞弢等考慮了制造誤差、傳動(dòng)誤差、嚙合剛度和嚙合阻尼對(duì)圓柱斜齒輪傳動(dòng)精度的影響，并建立了其動(dòng)力學(xué)模型;陳帥等考慮了偏心誤差對(duì)變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動(dòng)精度的影響，并通過(guò)Adams進(jìn)行了仿真。

　　在齒輪制造誤差的表征方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也做了系列相關(guān)的研究。劉繼勝等對(duì)齒輪加工中常見(jiàn)的誤差進(jìn)行了分類(lèi)，討論了誤差的主要來(lái)源，并給出了抵消誤差的方法;林超等分析了橢圓錐齒輪在增材制造的加工方式下，產(chǎn)生的齒面與齒距誤差的理論情況;戴劍青等關(guān)注了非圓齒輪制造誤差中的齒廓誤差，給出了新的齒廓算法與誤差表征圖;石照耀等利用Legendre正交多項(xiàng)式建立了齒面三維誤差的表征方法，并探究了其與齒面各項(xiàng)特征誤差之間的關(guān)系。

　　由前文可知，目前齒輪制造誤差的研究方法多為建立動(dòng)態(tài)響應(yīng)模型為基礎(chǔ)，輔以計(jì)算機(jī)仿真方法或數(shù)學(xué)模型方法進(jìn)行驗(yàn)證，但都無(wú)法將制造誤差引入到三維模型中進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真;制造誤差的表征方面，還沒(méi)有形成成熟的考慮制造誤差的三維模型設(shè)計(jì)方法。為此，本文將基于 Python對(duì)三維設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，建立了一種考慮制造誤差——徑向跳動(dòng)誤差和齒距誤差的齒輪三維模型設(shè)計(jì)方法，并給出一系列誤差范圍，驗(yàn)證方法的可行性。

　　一、齒廓參數(shù)化設(shè)計(jì)

　　本文選擇的齒廓為雙圓弧齒廓，雙圓弧齒廓是諧波減速器中柔輪最常用的齒廓之一，相較于傳統(tǒng)漸開(kāi)線齒廓，在諧波減速器特殊的傳動(dòng)原理中其具有“雙共軛”的優(yōu)良性質(zhì)，即同一時(shí)刻嚙合齒對(duì)間有兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)接觸，傳動(dòng)更平穩(wěn)。雙圓弧齒廓又分為有公切線的雙圓弧齒廓和無(wú)公切線的雙圓弧齒廓，本文選擇的是有公切線齒廓，因其應(yīng)用更為廣泛。

　　齒廓坐標(biāo)系

　　有公切線的雙圓弧齒廓主要由AB段圓弧、BC段公切線和CD段圓弧組成，以齒根圓與單齒對(duì)稱軸的交點(diǎn)作為原點(diǎn) O，其切線作為x軸，單齒齒廓的對(duì)稱線作為y軸，建立直角坐標(biāo)系。具體齒形如圖2所示。

　　齒廓表達(dá)式

　　根據(jù)幾何關(guān)系、約束條件可得雙圓弧齒廓的圓弧圓心坐標(biāo)：

　　其中，X_oa為上圓弧圓心O_a的橫坐標(biāo)；Y_oa為上圓弧圓心 O_a的縱坐標(biāo)；x_a為上圓弧圓心O_a到y(tǒng)軸的距離；y_a為上圓弧圓心O_a到分度圓切線的距離；h_f為齒根高。

　　其中，X_of為下圓弧圓心O_f的橫坐標(biāo)；Y_oa為下圓弧圓心 O_f的縱坐標(biāo)；x_f為下圓弧圓心O_f到齒槽對(duì)稱軸的距離；y_f為下圓弧圓心O_f到分度圓切線的距離；S為齒厚。

　　根據(jù)上述圓心坐標(biāo)與幾何關(guān)系可得齒廓各段分界點(diǎn)坐標(biāo)：

　　其中，X_a為A點(diǎn)橫坐標(biāo)；Y_a為A點(diǎn)縱坐標(biāo)；R_a為上圓弧半徑；h_a為齒頂高。

　　其中，X_b為B點(diǎn)橫坐標(biāo)；Y_b為B點(diǎn)縱坐標(biāo)；α為BC段傾角，即壓力角。

　　其中，X_c為C點(diǎn)橫坐標(biāo)；Y_c為C點(diǎn)縱坐標(biāo)；h_l為B、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差。

　　其中，X_d為D點(diǎn)橫坐標(biāo)；Y_d為D點(diǎn)縱坐標(biāo)。

　　以齒廓齒頂A點(diǎn)出為起點(diǎn)，以弧長(zhǎng)s為參數(shù)分段表示圓弧AB、直線BC、圓弧CD段。

　　AB段圓弧表達(dá)式：

　　其中， s 為以A點(diǎn)為起點(diǎn)的弧長(zhǎng)，取值范圍為 s∈(0,l₁+l₂+l₃)；α₁是直線OA的斜率角；l₁是弧長(zhǎng)AB段的長(zhǎng)度l₁=R_a(α₁-α)。

　　BC段直線表達(dá)式：

　　CD段圓弧直線表達(dá)式：

　　其中，s取值范圍為s∈(l₁+l_2，l₁+l₂+l₃)。

　　二、基于NURBS曲線的齒廓擬合方法

　　為了便于之后的模型設(shè)計(jì)與二次開(kāi)發(fā)，本文采用 NURBS曲線方法對(duì)雙圓弧齒廓進(jìn)行了擬合，以避免雙圓弧齒廓參量過(guò)多以及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)中截?cái)嗾`差導(dǎo)致的分界點(diǎn)處不連續(xù)的問(wèn)題。

　　NURBS曲線

　　NURBS曲線，全稱為非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B Spline，簡(jiǎn)稱為NURBS)，是曲線、曲面設(shè)計(jì)領(lǐng)域的最重要的一種設(shè)計(jì)方法，是目前所有CAD軟件繪制樣條曲線、復(fù)雜曲面的最常用方法。

　　其定義為：

　　其中，ω_i(0≤i≤b)為權(quán)函數(shù)；d_i(0≤i≤n)為控制點(diǎn)坐標(biāo)；N_i,3(u)是一系列由節(jié)點(diǎn)矢量決定的基函數(shù)，需要有以下遞推關(guān)系式得到：

　　其中，u為節(jié)點(diǎn)變量。

　　三次NURBS曲線的矩陣表達(dá)形式

　　按照文獻(xiàn)中的標(biāo)記方法，

　　并規(guī)定由此可得到第i段曲線的矩陣表達(dá)形式為：

　　其中

　　其中m_ij(1≤i，j≤4)的取值方法可參考文獻(xiàn)。

　　三次NURBS曲線插值方法

　　NURBS曲線是通過(guò)控制點(diǎn)對(duì)曲線進(jìn)行控制，而曲線一般不會(huì)過(guò)控制點(diǎn)，所以使用NURBS曲線插值的過(guò)程，就是通過(guò)已知點(diǎn)反求控制點(diǎn)d_i(i=0,1,...,n+2)的過(guò)程。控制點(diǎn)可通過(guò)三對(duì)角線性方程組求解：

　　其中線性方程系數(shù)矩陣元素與表達(dá)式可參考文獻(xiàn)。

　　三、制造誤差的表征

　　本文重點(diǎn)關(guān)注齒輪制造誤差為徑向跳動(dòng)誤差和齒距誤差兩種。

　　徑向跳動(dòng)誤差表征方法

　　齒輪的徑向跳動(dòng)誤差根據(jù)齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)ISO1328中的描述為：每個(gè)齒槽到齒輪測(cè)量基準(zhǔn)軸線的最大徑向距離與最小距離之差。本文將徑向跳動(dòng)誤差簡(jiǎn)化為整體齒形相對(duì)于理論位置的變動(dòng)量r。

　　齒距誤差表征方法

　　齒距誤差可以分為單個(gè)齒距誤差f_pt、齒距累計(jì)誤差 F_pk和齒距累計(jì)總偏差F_p。齒距誤差根據(jù)齒輪精度標(biāo)準(zhǔn) ISO1328中的描述如圖4所示。

　　本文將齒距誤差簡(jiǎn)化為整體齒形對(duì)稱軸相對(duì)于測(cè)量初始的夾角與理論夾角的變動(dòng)量p。

　　四、三維模型設(shè)計(jì)

　　基于Python的二次開(kāi)發(fā)

　　本文通過(guò)Python對(duì)CAD軟件Solidworks進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)三維模型設(shè)計(jì)，兩者的通信關(guān)系如圖6所示。

　　三維模型設(shè)計(jì)方法

　　在使用本文所設(shè)計(jì)的方法時(shí)，首先需在MATLAB中計(jì)算出齒廓的離散點(diǎn)，再根據(jù)三次NRTBS曲線插值算法計(jì)算出控制點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)Python將上述信息傳輸?shù)饺S設(shè)計(jì)軟件中，生成三維模型。模型設(shè)計(jì)流程如圖7所示。

　　五、測(cè)試驗(yàn)證結(jié)果

　　本文通過(guò)給定不同的誤差范圍，設(shè)計(jì)出系列考慮制造誤差的三維模型，來(lái)驗(yàn)證該方法的可行性。表1為試驗(yàn)齒輪的基本參數(shù)。

　　圖8和圖9展示了單獨(dú)設(shè)置徑向跳動(dòng)誤差和齒距誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，每組實(shí)驗(yàn)分別設(shè)置了八組不同的誤差范圍，由圖可知，隨著誤差范圍的增大，輪齒的誤差不斷增大，可見(jiàn)該方法表征誤差的有效性。

　　六、結(jié)語(yǔ)

　　1)本文在齒輪的三維模型設(shè)計(jì)中考慮了制造誤差，將簡(jiǎn)化的徑向跳動(dòng)誤差和齒距誤差加入到了雙圓弧齒廓齒輪的三維模型中，為齒輪傳動(dòng)精度研究提供了新思路；

　　2)基于NURBS曲線插值方法，對(duì)齒廓進(jìn)行了擬合，避免了雙圓弧齒廓多參數(shù)設(shè)計(jì)復(fù)雜，以及分界處因截?cái)嗾`差而不連續(xù)的問(wèn)題；

　　3)利用Python腳本編程對(duì)三維仿真軟件進(jìn)行了二次開(kāi)發(fā)，實(shí)現(xiàn)了考慮制造誤差的三維模型參數(shù)化設(shè)計(jì)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。

　　參考文獻(xiàn)略